Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Расположим полукруг в декартовой системе координат с центром в начале координат \((0; 0)\) и диаметром на оси \( Ox \). Уравнение окружности: \( x^2 + y^2 = R^2 \).
Пусть стороны прямоугольника равны \( 2x \) (на диаметре) и \( y \) (высота). Угол полукруг-прямоугольник находится в точке \((x; y)\), которая лежит на окружности.
Связь между сторонами: \( x^2 + y^2 = R^2 \implies y = \sqrt{R^2 - x^2} \).
Площадь прямоугольника \( S \) (максимизируем): \( S = (2x)y = 2x \sqrt{R^2 - x^2} \).
Ограничения: \( 0 < x < R \).
Максимизация \( S \) эквивалентна максимизации \( S^2 \). Пусть \( f(x) = S^2 \):
\( f(x) = 4x^2 (R^2 - x^2) = 4R^2 x^2 - 4x^4 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(x) \).
\( f'(x) = (4R^2 x^2 - 4x^4)' = 8R^2 x - 16x^3 \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( f'(x) = 0 \).
\( 8R^2 x - 16x^3 = 0 \).
\( 8x (R^2 - 2x^2) = 0 \).
Так как \( x \neq 0 \), то \( R^2 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = R^2/2 \implies x = R/\sqrt{2} = R\sqrt{2}/2 \).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( f''(x) = 8R^2 - 48x^2 \).
В критической точке \( x^2 = R^2/2 \): \( f''(x) = 8R^2 - 48(R^2/2) = 8R^2 - 24R^2 = -16R^2 < 0 \). Это максимум.
Шаг 5: Нахождение наибольшей площади.
При \( x = R\sqrt{2}/2 \):
- Сторона на диаметре: \( 2x = R\sqrt{2} \).
- Высота: \( y = \sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{R^2 - R^2/2} = \sqrt{R^2/2} = R\sqrt{2}/2 \).
- Наибольшая площадь: \( S_{max} = 2x y = R\sqrt{2} \cdot \frac{R\sqrt{2}}{2} = R^2 \frac{2}{2} = R^2 \).
Ответ: Наибольшая площадь \( R^2 \). Стороны прямоугольника \( R\sqrt{2} \) и \( R\sqrt{2}/2 \).