Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \). По условию \( H = 12 \), тогда \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot 12 = 4 S_{осн} \).
Максимизация \( V \) эквивалентна максимизации площади основания \( S_{осн} \).
Основание - прямоугольный треугольник с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c = 4 \).
По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = 4^2 = 16 \), откуда \( b = \sqrt{16 - a^2} \).
Площадь основания \( S_{осн} \) (максимизируем): \( S_{осн}(a) = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} a \sqrt{16 - a^2} \).
Максимизация \( S_{осн} \) эквивалентна максимизации \( S_{осн}^2 \). Пусть \( f(a) = 4 S_{осн}^2 \):
\( f(a) = a^2 (16 - a^2) = 16a^2 - a^4 \).
Ограничения: \( 0 < a < 4 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(a) \).
\( f'(a) = (16a^2 - a^4)' = 32a - 4a^3 \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( f'(a) = 0 \).
\( 32a - 4a^3 = 0 \).
\( 4a (8 - a^2) = 0 \).
Так как \( a \neq 0 \), то \( 8 - a^2 = 0 \implies a^2 = 8 \implies a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \).
Шаг 4: Проверка, что это максимум.
Вторая производная: \( f''(a) = 32 - 12a^2 \).
В критической точке \( a^2 = 8 \): \( f''(\sqrt{8}) = 32 - 12(8) = 32 - 96 = -64 < 0 \). Это максимум.
Шаг 5: Нахождение наибольшего объема.
При \( a = 2\sqrt{2} \):
Второй катет \( b = \sqrt{16 - a^2} = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). (Треугольник равнобедренный).
Максимальная площадь основания: \( S_{осн, max} = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 4 \).
Наибольший объем: \( V_{max} = 4 S_{осн, max} = 4 \cdot 4 = 16 \).
Ответ: Наибольший объем равен 16.