Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Пусть длина, ширина и высота кузова равны \( l, w, h \). Объем \( V = l w h \).
По условию, отношение длины к ширине: \( \frac{l}{w} = \frac{5}{2} \implies l = \frac{5}{2} w \).
Кузов открытый, поэтому площадь поверхности \( S_{пов} \) — это площадь дна \( l w \) плюс площадь четырех боковых стенок \( 2lh + 2wh \):
\( S_{пов} = l w + 2lh + 2wh \). По условию \( S_{пов} = 2S \).
Шаг 2: Выражение высоты \( h \) через \( w \).
Подставим \( l = \frac{5}{2} w \) в формулу площади:
\( 2S = (\frac{5}{2} w) w + 2(\frac{5}{2} w) h + 2wh = \frac{5}{2} w^2 + 5wh + 2wh = \frac{5}{2} w^2 + 7wh \).
Выразим \( h \): \( 7wh = 2S - \frac{5}{2} w^2 \implies h = \frac{1}{7w} (2S - \frac{5}{2} w^2) \).
Шаг 3: Составление функции объема \( V(w) \).
\( V(w) = l w h = (\frac{5}{2} w) w \cdot h = \frac{5}{2} w^2 h \).
Подставим \( h \): \( V(w) = \frac{5}{2} w^2 \cdot \frac{1}{7w} (2S - \frac{5}{2} w^2) = \frac{5w}{14} (2S - \frac{5}{2} w^2) = \frac{5S}{7} w - \frac{25}{28} w^3 \).
Ограничения: \( w > 0 \), \( h > 0 \implies 2S - \frac{5}{2} w^2 > 0 \implies w^2 < \frac{4S}{5} \implies 0 < w < 2\sqrt{\frac{S}{5}} \).
Шаг 4: Нахождение первой производной \( V'(w) \).
\( V'(w) = (\frac{5S}{7} w - \frac{25}{28} w^3)' = \frac{5S}{7} - \frac{25}{28} \cdot 3w^2 = \frac{5S}{7} - \frac{75}{28} w^2 \).
Шаг 5: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( V'(w) = 0 \).
\( \frac{5S}{7} = \frac{75}{28} w^2 \implies w^2 = \frac{5S}{7} \cdot \frac{28}{75} = \frac{5S \cdot 4}{75} = \frac{4S}{15} \).
Критическая точка: \( w = \sqrt{\frac{4S}{15}} = \frac{2}{\sqrt{15}} \sqrt{S} \).
Шаг 6: Определение длины и ширины.
- Ширина \( w = \frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15S}}{15} \).
- Длина \( l = \frac{5}{2} w = \frac{5}{2} \cdot \frac{2\sqrt{S}}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{S}}{\sqrt{15}} = \frac{5\sqrt{15S}}{15} = \frac{\sqrt{15S}}{3} \).
Проверка: \( V''(w) = -\frac{75}{28} \cdot 6w < 0 \) для \( w > 0 \). Это максимум.
Ответ: Длина \( l = \frac{\sqrt{15S}}{3} \). Ширина \( w = \frac{2\sqrt{15S}}{15} \).