Шаг 1: Составление функции для оптимизации.
Пусть равнобедренный треугольник имеет основание \( b \) и равные боковые стороны \( a \). Периметр \( p \) задан:
\( p = 2a + b \implies b = p - 2a \).
Высота к основанию \( h \) по теореме Пифагора: \( h = \sqrt{a^2 - (b/2)^2} \).
Площадь треугольника \( S \) (которую нужно максимизировать): \( S = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b \sqrt{a^2 - (b/2)^2} \).
Для удобства заменим \( b \) на \( p - 2a \). Площадь: \( S(a) = \frac{1}{2} (p - 2a) \sqrt{a^2 - \left(\frac{p - 2a}{2}\right)^2} \).
Максимизация \( S(a) \) эквивалентна максимизации \( S^2(a) \). Пусть \( f(a) = 4 S^2(a) \):
\( 4 S^2 = (p - 2a)^2 \left( a^2 - \frac{(p - 2a)^2}{4} \right) = (p - 2a)^2 \frac{4a^2 - (p - 2a)^2}{4} \)
\( f(a) = (p - 2a)^2 (4a^2 - (p - 2a)^2) \)
Используем разность квадратов: \( 4a^2 - (p - 2a)^2 = (2a - (p - 2a))(2a + (p - 2a)) = (4a - p)p \).
Итак, \( f(a) = p (p - 2a)^2 (4a - p) \).
Ограничения: стороны должны быть положительны, и неравенство треугольника. \( 4a - p > 0 \implies a > p/4 \). \( p - 2a > 0 \implies a < p/2 \).
Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(a) \).
Используем правило произведения для \( f(a) = p \cdot g(a) \cdot k(a) \), где \( g(a) = (p - 2a)^2 \) и \( k(a) = 4a - p \).
\( f'(a) = p \cdot [ ( (p - 2a)^2 )' (4a - p) + (p - 2a)^2 ( (4a - p)' ) ] \)
\( ( (p - 2a)^2 )' = 2(p - 2a) \cdot (-2) = -4(p - 2a) \).
\( f'(a) = p [ -4(p - 2a)(4a - p) + (p - 2a)^2 \cdot 4 ] \)
Вынесем общий множитель \( 4p(p - 2a) \):
\( f'(a) = 4p(p - 2a) [ -(4a - p) + (p - 2a) ] \)
\( f'(a) = 4p(p - 2a) [ -4a + p + p - 2a ] = 4p(p - 2a) [ 2p - 6a ] \).
Шаг 3: Нахождение критической точки.
Приравниваем производную к нулю: \( f'(a) = 0 \).
\( 4p(p - 2a)(2p - 6a) = 0 \).
Поскольку \( p \neq 0 \), получаем \( p - 2a = 0 \implies a = p/2 \) (противоречит \( a < p/2 \)) или \( 2p - 6a = 0 \implies 6a = 2p \implies a = p/3 \).
Критическая точка: \( a = p/3 \).
Шаг 4: Определение формы треугольника.
Если \( a = p/3 \), то \( b = p - 2a = p - 2(p/3) = p - 2p/3 = p/3 \).
Так как \( a = b = p/3 \), то треугольник является равносторонним.
Проверка: \( f'(a) \) меняет знак с \(+\) на \(-\) при переходе через \( a = p/3 \), так как \( p-2a > 0 \) и \( 2p-6a \) меняет знак с \(+\) на \(-\) (например, \( a = p/3 - \epsilon \implies 2p - 6a > 0 \); \( a = p/3 + \epsilon \implies 2p - 6a < 0 \)). Следовательно, это максимум.
Ответ: Наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник со стороной \( a = b = p/3 \).